Il corretto calcolo della duration

Alessio Marchetti duration 0 Comments

Torniamo sul concetto di duration – con un post un po’ più tecnico del solito – elemento fondamentale di qualsiasi investimento in obbligazioni. Qui e qui ne avevamo visto alcune applicazioni.

La duration esprime due concetti chiave:

  1. La media dei pagamenti del bond pesata per il tempo

Ogni pagamento di coupon rappresenta un tassello del valore del bond. Intuitivamente, più è alto il tasso coupon, più le prime cedole ricevute pesano rispetto a quelle future, nell’ipotesi di tasso di rendimento costante. Nell’esempio sotto è riportato il caso di un’obbligazione con yield 3% e tasso coupon 5%. Nella terza colonna viene calcolato il contributo – pesato per il tempo – della cedola, dove C è il tasso cedolare, P il prezzo del bond e YTM il rendimento a scadenza; nell’ultima colonna il contributo è riportato in percentuale. E’ subito evidente che le prime cedole “pesano” di più: 4,1% la prima rispetto a 3,5% al settimo anno.

La somma dei valori della terza colonna corrisponde quindi alla duration di Macaulay.

2. Elasticità del prezzo rispetto al tasso d’interesse

Questa è la tipologia di duration più usata, perché fornisce una previsione della variazione del prezzo dell’obbligazione al variare dello yield. Si ottiene dividendo il valore della duration di Macaulay per 1+r, dove r è il rendimento. Questa nuova duration viene chiamata duration modificata. La duration modificata viene moltiplicata per la variazione – positiva o negativa – del tasso di rendimento. Il risultato è una stima della variazione del prezzo del bond.

Nell’esempio di prima, la duration modificata equivale a 8,27 x (1+3%) = 8,03. Ora supponiamo che il rendimento passi dal 3% a 3,5%, un incremento dello 0,5%. Se moltiplichiamo la duration modificata per 0,5% otteniamo 0,04, ossia 4%. La duration prevede quindi un deprezzamento del bond del 4%. Per convenzione si pone il segno negativo davanti alla duration: così facendo, se lo yield sale, la duration predice un calo del prezzo; viceversa, se il tasso scende, il prezzo è previsto aumentare, come è naturale che sia.

Esempio: lo yield scende a 2,5%, quindi -8,03 x (2,5%-3%) = +4%.

Capite bene quanto sia utile avere una corretta stima della duration. E qui sorge un problema: il calcolo della duration assume che i pagamenti delle cedole siano uniformi nel tempo (ogni 3, 6, o 12 mesi, per esempio), ma cosa succede se così non fosse? Può sembrare una questione di lana caprina ma è una condizione che si verifica nella maggior parte dei casi, a meno che non compriate un’obbligazione appena emessa oppure che abbia appena staccato la cedola.

La correzione da apportare è relativamente semplice: basta usare la seguente macro in Excel[1]:

 

Questa è la macro che inseriamo in VBA. Se usate Windows, premete Alt+F11; se usate Mac andate su Strumenti–>Macro–>Visual Basic Editor. Poi su Inserire–>Modulo scrivete il codice sopra. In Windows, chiudete la finestra VBA, non c’è bisogno di salvare; su Mac, potete pure continuare a lavorare.

Gli input di questa funzione sono:

  • numero di cedole da ricevere;
  • tasso coupon;
  • rendimento a scadenza;
  • tempo da attendere – in anni – per ricevere la prima cedola.

Facciamo un esempio. Prendiamo l’obbligazione di Telecom Italia (Isin XS1551678409) con scadenza a luglio 2023. Come riportato sotto, se calcolassimo la duration con la funzione standard di Excel =DURATION(), otterremmo un valore pari a 5,429. Usando invece la funzione DDuration(), inserita nella macro, il valore è inferiore: 5,41.

Il concetto chiave è quel numerino alpha, ossia la differenza – in anni – tra oggi, quando ipoteticamente abbiamo comprato l’obbligazione, e il giorno del pagamento della prima cedola. Infatti 9 mesi ci separano dal primo stacco di cedola, e 9/12 = 0,8.

 

Referenza

[1] Benninga, “Financial Modeling”, 2014, MIT.

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